题目

题型：不详难度：来源：

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

(10-a)2

=1（5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F₁BF₂的面积的最大值是______．

答案

由题得：椭圆焦点在X轴上且c²=a²-（10-a）²=20a-100⇒c=

20a-100

，
∵F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

(10-a)2

=1（5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点
∴△F₁BF₂的面积：S=

1

2

|F₁F₂|•b=

1

2

•2c•b=bc=（10-a）•

20a-100

=

(10-a) 2(20a-100)

令y=（10-a）²（20a-100）=20（a³-25a²+200a-500），
∴y^′=20（3a²-50a+200）=20（a-10）（3a-20）
所以当a＜

20

3

或a＞10时y′＞0；
当

20

3

＜a＜10时y^′＜0．
∴当a=

20

3

时，y有最大值，
所以y_max=20×[(

20

3

)3-25×(

20

3

)2+200×

20

3

-500]=

10000

27

∴Smax=

10000 27

=

100 3

9

．
故答案为：

100 3

9

．