题目
题型:湛江二模难度:来源:
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(Ⅰ)若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,试确定实数m的值;
(Ⅱ)若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为“凸函数”,求b-a的最大值.
答案
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(Ⅰ)若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,则有f″(x)=x2-mx-3<0在区间(-1,3)上恒成立,
由二次函数的图象,当且仅当
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即
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(Ⅱ)当|m|≤2时,f″(x)=x2-mx-3<0恒成立⇔当|m|≤2时,mx>x2-3恒成立.(8分)
当x=0时,f″(x)=-3<0显然成立.(9分)
当x>0,x-
3 |
x |
∵m的最小值是-2.
∴x-
3 |
x |
从而解得0<x<1(11分)
当x<0,x-
3 |
x |
∵m的最大值是2,∴x-
3 |
x |
从而解得-1<x<0.(13分)
综上可得-1<x<1,从而(b-a)max=1-(-1)=2(14分)
核心考点
试题【设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求正数a与b的关系;
(2)若a=1,设f(x)=m
x |
(3)证明:1n(n!)>2n-4
n |
1 |
3 |
A.(-∞,a-1-
| B.(a-1-
| ||||
C.(0,2a) | D.(2a,+∞) |
1 |
x-1 |
A.1 | B.2 | C.-1 | D.3 |
1 |
2 |
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
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