题目
题型:不详难度:来源:
(2)设正数p1,p2,p3,…,p2n满足p1+p2+p3+…+p2n=1,求证:p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n.
答案
1 |
2 |
当x<
1 |
2 |
1 |
2 |
当x>
1 |
2 |
1 |
2 |
所以f(x)在x=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,由(1)知命题成立.
(ii)假定当n=k时命题成立,即若正数p1,p2,…,p2k满足p1+p2+…+p2k=1,
则p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k.
当n=k+1时,若正数p1,p2,…,p2k+1满足p1+p2+…+p2k+1=1,
令x=p1+p2+…+p2k,q1=
p1 |
x |
p2 |
x |
p2k |
x |
则q1,q2,…,q2k为正数,且q1+q2+…+q2k=1.
由归纳假定知q1lnp1+p2lnp2+…+q2klnq2k≥-k.p1lnp1+p2lnp2+…+p2klnp2k=x(q1lnq1+q2lnq2+…+q2klnq2k+lnx)≥x(-k)+xlnx,①
同理,由p2k+1+p2k+2+…+p2k+1=1-x可得p2k+1lnp2k+1+…+p2k+1lnp2k+1≥(1-x)(-k)+(1-x)n(1-x).②
综合①、②两式p1lnp1+p2lnp2+…+p2k+1lnp2k+1≥[x+(1-x)](-k)+xlnx+(1-x)ln(1-x)
≥-(k+1).
即当n=k+1时命题也成立.
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.
核心考点
试题【(1)设函数f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值;(2)设正数p1,p2,p3,…,p2n满足p1+p2+p3+…+p】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(I)求m的值;
(II)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值;
(III)设实数a,b,c∈[0,+∞)且a+b+c=3,证明:
1 |
(1+a)2 |
1 |
(1+b)2 |
1 |
(1+c)2 |
3 |
4 |
sinx | |||
|
π |
2 |
(1)求f(x)的导数f′(x);
(2)求证:不等式sin3x>x3cosx在(0,
π |
2 |
(3)求g(x)=
1 |
sin2x |
1 |
x2 |
π |
2 |
A.0<a<1 | B.a<1 | C.a>0 | D.a<0 |
最新试题
- 1绳中有列正弦横波,沿x轴传播,图中6—12中a、b是绳上两点,它们在x轴方向上的距离小于一个波长。a、b两点的振动图象如
- 2Mary is a ______ high school student. [ ]A. 14-year-old
- 3日本“大化改新”仿照的是中国哪一时期的政治经济制度? [ ]A、秦汉B、隋唐 C、宋元 D、明清
- 4位于西非尖端的最主要港口达喀尔是哪一个国家的首都( )A.塞内加尔B.象牙海岸(科特迪瓦)C.塞拉利昂D.毛里塔尼亚
- 5─What"s happening? ─We are having _______ meeting? [ ]A.
- 6—Did you sleep well last night?—Oh, no. noise outs
- 7细胞工程是指在细胞水平上,有计划地改造细胞的遗传结构,培育人类所需要的动植物新品种等技术.下列哪项标志在细胞工程上取得了
- 8制作面包发酵时利用的菌种是A.酵母菌B.醋酸菌C.青霉菌D.乳酸菌
- 9下图是某同学设计的二氧化碳制取实验的微型一体化装置图,该装置的气密性良好。(1)关闭止水夹1,打开止水夹2,挤压胶头,滴
- 10如图,下列说法不正确的是( )A.直线AC经过点AB.BC是线段C.点D在直线AC上D.直线AC与线段BD相交于点A
热门考点
- 1在检测不同环境中的细菌和真菌时,选用两套培养皿的目的是:设置对照,且实验组和对照组要在同一环境中培养。[ ]
- 2“舍得一身剐,敢把皇帝拉下马!”你认为把皇帝拉下马的是下面哪一个人? A
- 31875年英国怡和洋行的海洋号轮船在黄海海域将中国轮船招商局的福星号货轮撞沉,造成大量财物损失和63人罹难。然而海洋号及
- 4The man in black has two children, one of whom _______ in a
- 5化学反应前后,下列各项①原子总数 ②分子总数 ③物质总质量 ④物质的种类 ⑤元素的种类中,一定发生变化的是(
- 6阅读下列材料,结合所学知识回答问题:材料一 自人权平等之说兴,奴隶之名,非血气所能忍受。世界称近世欧洲历史为“解放历史”
- 7(本题满分16分)已知函数(1)求函数的定义域;(2)记函数求函数的值域;(3)若不等式有解,求实数的取值范围.
- 8阅读理解。根据短文内容,完成下面的句子,每空一词。 There are few families in the
- 9下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( )A.f(x)=1xB.f(x)=x2C.f(x)=2xD.f(x)=
- 10已知曲线和曲线(为参数)关于直线l1.对称,直线l2过点旦与l1的夹角为60° ,则直线l2的方程为A.B.C.D.