有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？

答案

据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，
设C点距D点xkm，如图所示，则BD=40，AC=50-x，
∴BC=

BD2+CD2

402+x2

又设总的水管费用为y元，
由题意得y=3a（50-x）+5a

x2+402

（0＜x＜50），
y′=-3a+

5ax

x2+402

令y′=0解得x=30．
在（0，50）上，y只有一个极值点，
根据实际意义，函数在x=30（km）处取得最小值，
此时AC=50-x=20（km），
答：供水站C建立在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．

核心考点

试题【有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

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已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=K恒成立．

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如图，由y=0，x=8，y=x²围成了曲边三角形OAB，M为曲线弧OB上一点，
设M点的横坐标为x₀，过M作y=x²的切线PQ
（1）求PQ所在直线的方程（用x₀表示）；
（2）当PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大时，求x₀．

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已知函数f（x）=

x²+lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，

x²+lnx＜

x³．

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已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|

|，求实数a的取值范围．

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