题目
题型:江苏模拟题难度:来源:
(Ⅰ)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在c,使函数f(x)在区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点。
答案
所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c,
由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根,
考察函数h(x)=x3-12x+c,则h′(x)=0,得x=±2,
所以,故-16<c<16。
(Ⅱ)存在c∈(- 16,16),使f′(x)≥0,即x3-12x≥-c,(*)
所以x3-12x>-16,
即(x-2)2(x+4)>0(*)在区间[m-2,m+2]上恒成立,
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,
所以,或m-2>2,即-2<m<0或m>4。
(Ⅲ)由题设,可得存在α,β∈R,
使f′(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+αx+β),且x2+αx+β≥0恒成立,
又f′(t2)=0,且在x=t2两侧同号,
所以f′(x)=(x-t1)(x-t2)2,
另一方面,g′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c=x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)[(x-t2)2-1],
因为t1<x<t2,且t2-t1<1,
所以-1<t1-t2<x-t2<0,
所以0<(x-t2)2<1,
所以(x-t2)2- l<0,而x-t1>0,
所以g′(x)<0,所以g(x)在(t1,t2)内单调递减,
从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点。
核心考点
试题【设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值, (Ⅰ)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围.
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax。
(I)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。
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