题目
题型:湖北省高考真题难度:来源:
(1)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值;
(2)求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
(3)记g(x)=|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。
答案
解
得或
若
则
f′(x)=
f(x)在R上单调递减,在x=1处无极值;
若,则
直接讨论知,f(x)在x=1处有极大值,
所以。
(2)解f′(t)=c得t=0或t=2b,切点分别为(0,bc)、
相应的切线为y=cx+bc或
解
即x3-3bx2+4b3=0
得x=-b或x=2b
综合可知,b=0时,斜率为c的切线只有一条,与曲线的公共点只有(0,0),
b≠0时,斜率为c的切线有两条,与曲线的公共点分别为(0,bc)、(3b,4bc)和。
(3)g(x)=|-(x-b)2+b2+c|
若|b|>1,则f′(x)在[-1,1]是单调函数,
M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|},
因为f′(1)与f′(-1)之差的绝对值|f′(1)-f′(-1)|=|4b|>4,
所以M>2
若|b|≤1,f′(x)在x=b∈[-1,1]取极值,
则M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|,|f′(b)|},f′(b)-f′(±1)=(b±1)2
若-1≤b<0,f′(1)≤f′(-1)≤f′(b)
若0≤b≤1,f′(-1)≤f′(1)≤f′(b),
当b=0,时,在[-1,1]上的最大值
故M≥k对任意的b,c恒成立的k的最大值为。
核心考点
试题【在R上定义运算:pq=-(p-c)(q-b)+4bc(b、c∈R是常数)。记f1(x)=x2-2c,f2(x)=x-2b,x∈R,令f(x)=f1(x)f2(x】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。
(Ⅰ)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围;
(Ⅱ)若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。
(1)当m为何值时,f(x)≥0;
(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0,试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。
(1)试求m,n的值;
(2)求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程;
(3)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由。
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