题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=mx³+2nx²-12x的减区间是（-2，2）。
（1）试求m，n的值；
（2）求过点A（1，-11）且与曲线y=f（x）相切的切线方程；
（3）过点A（1，t）是否存在与曲线y=f（x）相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意知：f"（x）=3mx²+4nx-12＜0的解集为（-2，2），
所以，-2和2为方程3mx²+4nx-12=0的根，
由韦达定理知，即m=1，n=0。
（2）∵f（x）=x³-12x，
∴f"（x）=3x²-12，
∵f（1）=1³-12·1=-11，
当A为切点时，切线的斜率k=f"（1）=3-12=-9，
∴切线方程为y+11=-9（x-1），即9x+y+2=0；
当A不为切点时，设切点为P（x₀，f（x₀）），这时切线的斜率是k=f"（x₀）=
切线方程为y-f（x₀）=f"（x₀）（x-x₀），
即
因为过点A（1，-11），
∴
∴x₀=1或，而x₀=1为A点，
即另一个切点为
∴
切线方程为，即45x+4y-1=0，
所以，过点A（1，-11）的切线方程为9x+y+2=0或45x+4y-1=0。
（3）存在满足条件的三条切线
设点P（x₀，f（x₀））是曲线f（x）=x³-12x的切点，
则在P点处的切线的方程为y-f（x₀）=f"（x₀）（x-x₀）
即
因为其过点A（1，t），
所以，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲线有3个零点即可
设g"（x）=6x²-6x=0，
∴x=0或x=1分别为g（x）的极值点，
当x∈（-∞，0）和（1，+∞）时，g"（x）>0，
g（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上分别单增，
当x∈（0，1）时，g"（x）＜0，g（x）在（0，1）上单减，
所以，x=0为极大值点，x=1为极小值点，
所以要使曲线与x轴有3个交点，
当且仅当即
解得-12＜t＜-11。