题目

题型：天津高考真题难度：来源：

设函数f（x）=xsinx（x∈R），
（Ⅰ）证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，其中k为整数；
（Ⅱ）设x₀为f（x）的一个极值点，证明；
（Ⅲ）设f（x）在(0，+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a₁，a₂，…，a_n，…，证明。

答案

（Ⅰ）证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k，
有
； （Ⅱ）证明：函数f（x）在定义域R上可导，
， ①
令f′（x）=0，得sinx+xcosx=0，
显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，
上述方程化简为x=-tanx，
如图所示，此方程一定有解，
f（x）的极值点x₀一定满足，
由，
因此，； （Ⅲ）证明：设x₀＞0是f′（x）=0的任意正实根，
即，
则存在一个非负整数k，使，
即x₀在第二或第四象限内，
由①式，在第二象限或第四象限中的符号
可列表如下：

所以满足的正根x₀都为f（x）的极值点，
由题设条件，为方程x=-tanx的全部正实根且满足
，
那么对于n=1，2，…，

， ②
由于，
则，
由于，
由②式知，
由此可知必在第二象限，即；
综上，。