题目
题型:天津月考题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为﹣b
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:f(x)=0还有不同于﹣b的实根x1、x2,且x1、-b、x2成等差数列;
(Ⅲ)若函数f(x)的极大值小于16,求f(1)的取值范围.
答案
∵函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,
∴x=0是极大值点,
∴f"(0)=0,∴c=0
(Ⅱ)证明:令f"(x)=0,得x=0或﹣2b
由f(x)的单调性知﹣2b≥2,∴b≤﹣1
∵﹣b是方程f(x)=0的一个根,则(﹣b)3+3b(﹣b)2+d=0d=﹣2b3
∴f(x)=x3+3bx2﹣2b3=(x+b)(x2+2bx﹣2b2)
方程x2+2bx﹣2b2=0的根的判别式△=4b2﹣4(﹣2b2)=12b2>0
又(﹣b)2+2b(﹣b)﹣2b2=﹣3b2≠0,
即﹣b不是方程x2+2bx﹣2b2=0的根,
∴f(x)=0有不同于﹣b的根x1、x2.
∴x1+x2=﹣2b,
∴x1、﹣b、x2成等差数列
(Ⅲ)解:根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f(0)<16﹣2b3<16,∴b>﹣2,
于是﹣2<b≤﹣1
令g(b)=f(1)=﹣2b3+3b+1
求导g"(b)=﹣6b2+3﹣2<b≤﹣1时,g"(b)<0,
∴g(b)在(﹣2,﹣1]上单调递减
∴g(﹣1)≤g(b)<g(﹣2)即0≤f(1)<11
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为﹣b(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:f(x)=0】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数在[0,2]只有一个零点,求m的取值范围.
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