题目

题型：广西自治区月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³﹣3ax²+3x+1．
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）因为f（x）在实数集R上单调递增，
∴f"（x）=3x²﹣6ax+3≥0恒成立
∴△=36（a²﹣1）≤0，
解得：﹣1≤a≤1
（2）f"（x）=3（x²﹣2ax+1）=3[（x﹣a）²+1﹣a²]
当 1﹣a²≥0时，f"（x）≥0，f（x）在R上无极值点，
当 1﹣a²＜0时，|a|＞1，
令f"（x）=0，易得f（x）有两个极值点
因为f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
所以，
不等式 2＜a﹣=＜3，无解，
解不等式 得  ．
所以，a的取值范围是