题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

已知函数（m、n为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求m，n的值；
（2）若f（x）在（﹣∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在（x₁，x₂）上单调递减，又满足x₂﹣x₁＞1．求证：m²＞2（m+2n）．

答案

解：（1）∵函数（m、n为常数），
∴f"（x）=x²+（m﹣1）x+n
据题意知1、3是方程x²+（m﹣1）x+n=0的两根，
∴1﹣m=1+3=4，n=1×3=3，即m=﹣3，n=3
（2）由题意知，
当x∈（﹣∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f"（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f"（x）＜0
∴
则x₁+x₂=1﹣m，x₁x₂=n
∴m=1﹣（x₁+x₂），n=x₁x₂
∴m²﹣2（m+2n）=m²﹣2m﹣4n
==
∵x₂﹣x₁＞1，
∴，
∴m²＞2（m+2n）