题目

题型：安徽省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=e^x+2x²﹣3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

答案

解：（1）f′（x）=e^x+4x﹣3，则f"（1）=e+1，
又f（1）=e﹣1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），
即（e+1）x﹣y﹣2=0；
（2）∵f′（0）=e⁰﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）·f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x﹣3，
则h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，
∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点
（3）由，
得，
即，
∵，∴，
令，则，
令，
则Φ"（x）=x（e^x﹣1）
∵，∴Φ"（x）＞0，
∴Φ（x）在上单调递增，
∴，
因此g"（x）＞0，
故g（x）在上单调递增，
则．