题目

题型：江苏同步题难度：来源：

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．

答案

解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域在（﹣1，+∞）

令g（x）=2x²+2x+b，
则g（x）在上递增，在上递减，
g（x）=2x²+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，
所以f"（x）＞0即当，函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当函数f（x）无极值点
（2）当时，，
∴
，
∴时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点
（3）当时，解f"（x）=0得两个不同解
当b＜0时，
∴x₁∈（﹣1，+∞），x₂∈（﹣1，+∞），
此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点
当时，x₁，x₂∈（﹣1，+∞）f"（x）在（﹣1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f"（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点
综上可知，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点
时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点
时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．
（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x²﹣ln（x+1）．令上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即当x∈（0，+∞）时，有x³﹣x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²﹣x³，对任意正整数n，取