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题目
题型:不详难度:来源:
在直角坐标系xOy中,设A点是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与曲线C2x2+y2=
5
2
的一个公共点,若C1与C2在A点处的切线互相垂直,则实数a的值是______.
答案
设点A的坐标为(x0,y0),代入两曲线方程得:
y0=ax03+1①,x02+y02=
5
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②,
由曲线C1:y=ax3+1得:y′=3ax2
则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax02
所以C1在A处的切线方程为:y=3ax02(x-x0)+y0
由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,
得到切线方程y=3ax02(x-x0)+y0过圆C2的圆心(0,0),
则有3ax02(0-x0)+y0=0,即y0=3ax03③,
把③代入①得:a=
1
2x03
④,④代入③得:y0=
3
2
⑤,⑤代入②得:x0
1
2

当x0=
1
2
时,代入④得:a=4;当x0=-
1
2
时,代入④得:a=-4(由a>0,不合题意,舍去).
则实数a的值为4.
故答案为4.
核心考点
试题【在直角坐标系xOy中,设A点是曲线C1:y=ax3+1(a>0)与曲线C2:x2+y2=52的一个公共点,若C1与C2在A点处的切线互相垂直,则实数a的值是__】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
若函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值,则b应满足的条件是______.
题型:不详难度:| 查看答案
设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=______.
题型:东莞二模难度:| 查看答案
曲线y=x3+x-10在某点处的切线平行于直线4x-y+3=0,则切线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=





2x-3   x≠0
a        x=0
在x=0处连续,若
lim
x→a
x2+x-b
x-a
存在,则a,x=0
lim
x→a
x2+x-b
x-a
=______(其中a、b为常数)
题型:不详难度:| 查看答案
若曲线y=g(x)在点(l,g(l))处的切线方程为y=2x+1,则曲线f(x)=g(x)+lnx在点(l,g(l))处切线的斜率为 ______,该切线方程为 ______.
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