已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；（2）若函数 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n²，试求m的值．

答案

（1）∵f′（x）=3mx²+2nx
由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，知f′（2）=0
∴n=-3m，m＞0 ①
令f′（x）=3mx²+2nx=3mx²-6mx=0
得x=0或x=2，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
∴x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点．
∴极大值为f（0）=0；
（2）令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3
（I）当0＜m≤3时，f（x）_max=f（0）=0，∴m-n²=0 ②
由①，②解得m=

，符合前提0＜m≤3．
（II）当m＞3时，f（x）_max=f（m）=m⁴+m²n
∴m⁴+m²n=m-n² ③
由①，③得m³-3m²+9m-1=0，
∵m＞3时，m³-3m²+9m-1=m²（m-3）+9m-1＞0
∴m³-3m²+9m-1=0在（3，+∞）上无实数根．
综上讨论可知，m的值为m=

核心考点

试题【已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；（2）若函数】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），求a的取值范围．

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函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x₀，我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

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曲线y=3x⁵-5x³共有______个极值．

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已知函数f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+

，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x₀，我们把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为两函数在x₀处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

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已知函数f（x）=e^x（x²+a），若x=-1为f（x）的极值点，则a的值为______．

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