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题目
题型:江西模拟难度:来源:
已知直线y=-2x-
2
3
与曲线f(x)=
1
3
x3-bx
相切.
(1)求b的值
(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2
求:①m的取值范围     ②比较x1x2+9与3(x1+x2)的大小.
答案
(1)∵f(x)=
1
3
x3-bx
,∴f"(x)=x2-b
设切点为(x0,y0),依题意得





1
3
x30
-bx0=y0
y0=-2x0-
2
3
x20
-b=-2

解得:b=3
(2)设h(x)=f(x)-x2-m=
1
3
x3-x2-3x-m

则h"(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
1令h"(x)=023,得x=-14或x=35在(0,3)6上,h"(x)<07,
故h(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上,h"(x)>0,
故h(x)在(3,+∞)上单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需





h(0)=-m>0
h(3)=-9-m<0
,∴-9<m<0
此时存在x>3时,h(x)>0,例如当x=5时,h=
125
3
-25=15-m=
5
3
-m>0

∴①所求m的范围是:-9<m<0.
②由①知,方程f(x)=x2+m2在(0,+∞)3上有两个解x1,x2
满足0<x1<3,x2>3,x1x2+9-3(x1+x2)=(3-x1)(3-x2)<0,
x1x2+9<3(x1+x2).
核心考点
试题【已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=13x3-bx相切.(1)求b的值(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2.求:①m的取值范围 】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
lim
x→1
x


x
-x
x-1
=(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.0D.不存在
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函数y=sinx在点(
π
3


3
2
)
处的切线的斜率为(  )
A.1B.
1
2
C.


2
2
D.


3
2
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
(1+x)n
+aln(x+1)
,其中n∈N*,a为常数.
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非负数,且b1+b2+…+bk=1,求证:f(b1)+f(b2)+…+f(bk)≤k+1.
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定义在R上的可导函数y=f(x)在x=1处的切线方程是y=-x+2,则f(1)+f"(1)=(  )
A.-1B.
1
2
C.2D.0
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已知曲线y=
x2
2
+lnx
的一条切线的斜率为2,则此切线方程为(  )
A.2x+y+1=0B.4x+2y-3=0C.4x-2y-3=0D.2x-y-1=0
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