题目
题型:不详难度:来源:
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(Ⅰ)求数列{yn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{yn}的前n项和为Sn,猜测Sn的最大值并证明你的结论.
答案
∴点P处的切线斜率kn=(n+1)(-
1 |
2 |
∴切线方程为:y-(-
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
令x=0得:yn=(-
1 |
2 |
n+1 |
2 |
1 |
2 |
故数列{yn}的通项公式为:yn=
n |
2 |
1 |
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(Ⅱ)Sn=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
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n |
2 |
1 |
2 |
两边同乘-
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
n |
2 |
1 |
2 |
∴得:
3 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
n |
2 |
1 |
2 |
∴3Sn=(-
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
-
| ||||
1+
|
1 |
2 |
=-
1-(-
| ||
3 |
1 |
2 |
∴Sn=
1 |
9 |
2+3n |
2 |
1 |
2 |
其中S1=y1=-
1 |
4 |
3 |
16 |
1 |
16 |
猜测Sn的最大值为S2=0.证明如下:(10分)
(i)当n为奇数时,Sn=-
1 |
9 |
2+3n |
2 |
1 |
2 |
(ii)当n为偶数时,Sn=
1 |
9 |
2+3n |
2n+1 |
设h(n)=
2+3n |
2n+1 |
8+3n |
2n+3 |
h(n+2)-h(n)=
8+3n |
2n+3 |
2+3n |
2n+1 |
9n |
2n+3 |
∴h(n+2)<h(n).(13分)
故h(n)=
2+3n |
2n+1 |
解法2(Ⅱ)任意k∈N*,都有y2k-1<0,y2k>0;
所以Sn的最大值就是S2k的最大值.
令ak=y2k-1+y2k=
1-k |
4k |
所以S2k=a1+a2++ak的最大值是S2=a1=0.
核心考点
试题【设曲线Cn:f(x)=xn+1(n∈N*)在点P(-12,f(-12))处的切线与y轴交于点Qn(0,yn).(Ⅰ)求数列{yn}的通项公式;(Ⅱ)设数列{yn】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)=-
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2 |
(3)证明:对任意的正整数n,不等式ln
n+1 |
n |
n+1 |
n2 |
3x-2 |
A.x-2y+1=0 | B.3x-y-2=0 | C.3x-2y-1=0 | D.3x+2y-5=0 |
kx+b |
x2+c |
(1)求函数f(x)的另一个极值点;
(2)设函数f(x)的极大值为M,极小值为m,若M-m≥1对b∈[1,
3 |
2 |
1 |
a |
x |
线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行.
(1)求函数f(x),g(x)的表达式;
(2)当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值;
(3)当a=
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1 |
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1 |
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(I)求实数a的取值范围;
(II)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于
1 |
4 |
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