题目

题型：重庆难度：来源：

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围．

答案

（1）f"（x）=3x²-2（1+a）x+a．
令f"（x）=0得方程
3x²-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a²-a+1）≥4a＞0，故方程有两个不同实根x₁，x₂
不妨设x₁＜x₂，由f"（x）=3（x-x₁）（x-x₂）可判断f"（x）的符号如下：
当x＜x₁时，f"（x）＞0；
当x₁＜x＜x₂时，f"（x）＜0；
当x＞x₂时，f"（x）＞0
因此x₁是极大值点，x₂是极小值点．
（2）因f（x₁）+f（x₂）≤0，故得不等式x₁³+x₂³-（1+a）（x₁²+x₂²）+a（x₁+x₂）≤0．
即（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-（1+a）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）≤0．
又由（I）知

x1+x2= 2 3 (1+a) x1x2= a 3 .

代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
2a²-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤

1

2

（舍去）
因此，当a≥2时，不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立．