讨论函数f（x）=x2+1 (x≤0)x+1 (x＞0)在x=0处的可导性． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

讨论函数f（x）=

x2+1 (x≤0)

x+1 (x＞0)

在x=0处的可导性．

答案

函数f（x）在x=0处是否可导，
即

f(0+△x)-f(0)

△x

当△x→0时的极限是否存在．
∵

lim

△x→0+

f(0+△x)-f(0)

△x

lim

△x→0+

△x+1-1

△x

=1，

lim

△x→0-

f(0+△x)-f(0)

△x

lim

△x→0-

(△x)2+1-1

△x

=0，
又∵

lim

△x→0+

f(0+△x)-f(0)

△x

≠

lim

△x→0-

f(0+△x)-f(0)

△x

，
∴

f(0+△x)-f(0)

△x

当△x→0时的极限不存在，因此f（x）在x=0处不可导．

核心考点

试题【讨论函数f（x）=x2+1 (x≤0)x+1 (x＞0)在x=0处的可导性．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金

元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
（1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（2）证明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-

）ⁿ=

）．

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f（x）=

2x x≥1

0 x＜1

下列结论正确的是（　　）

A．

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1-

f（x）

B．

lim

x→1+

f(x)=2，

lim

x→1-

f(x)不存在

C．

lim

x→1+

f（x）=0，

lim

x→1-

f(x)不存在

D．

lim

x→1+

f（x）≠

lim

x→1-

f（x）

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已知函数f （x）是偶函数，且

lim

x→-∞

f （x）=a，则下列结论一定正确的是（　　）

A．

lim

x→+∞

f（x）=-a

B．

lim

x→+∞

f（x）=a

C．

lim

x→+∞

f（x）=|a|

D．

lim

x→-∞

f（x）=|a|

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已知函数y=f （x）在点x=x₀处存在极限，且

lim

x→x0+

f （x）=a²-2，

lim

x→x0-

f （x）=2a+1，则函数y=f （x）在点x=x₀处的极限是______．

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lim

x→1

x2+x-2

x2-x

=______．

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