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题目
题型:不详难度:来源:
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).
(Ⅰ)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求实数t的最小值;
(Ⅲ)当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式.
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)过点(-1,2),
∴f(-1)=-a+b-c=2,①
又f"(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,





f(1)=-2
f′(1)=0






a+b+c=-2
3a+2b+c=0
,②
由①和②解得a=1,b=0,c=-3,故f(x)=x3-3x;
(Ⅱ)由(Ⅰ)f"(x)=3x2-3,
令f"(x)=0,解得x=±1,
∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,
∴在区间[-3,2]上fmax(x)=2,fmin(x)=-18,
∴对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,
∴t≥20,从而t的最小值为20;
(Ⅲ)∵f"(x)=3ax2+2bx+c,





f′(0)=c
f′(-1)=3a-2b+c
f′(1)=3a+2b+c
,可得6a=f"(-1)+f"(1)-2f"(0).
∵当-1≤x≤1时,|f"(x)|≤1,
∴|f"(-1)|≤1,|f"(0)|≤1,|f"(1)|≤1,
∴6|a|=|f"(-1)+f"(1)-2f"(0)|≤|f"(-1)|+|f"(1)|+2|f"(0)|≤4,
a≤
2
3
,故a的最大值为
2
3

a=
2
3
时,





|f′(0)|=|c|=1
|f′(-1)|=|2-2b+c|=1
|f′(1)|=|2+2b+c|=1
,解得b=0,c=-1,
∴a取得最大值时f(x)=
2
3
x3-x
核心考点
试题【已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).(Ⅰ)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
曲线y=x3-1在x=1处的切线方程为(  )
A.y=2x-2B.y=3x-3C.y=1D.x=1
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设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)求导数f′(x); 并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2
题型:不详难度:| 查看答案
三次函数y=x3-x2-ax+b在(0,1)处的切线方程为y=2x+1,则a+b=______.
题型:江苏二模难度:| 查看答案
已知f(x)=x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(  )
A.y=2x-1B.y=-6x+7C.y=3x-2D.y=2x-3
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已知曲线y=1-x2上一点P(
1
2
3
4
),则过点P的切线的倾斜角为(  )
A.30°B.45°C.135°D.150°
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