题目

题型：不详难度：来源：

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

答案

（Ⅰ）∵函数f（x）过点（-1，2），
∴f（-1）=-a+b-c=2，①
又f"（x）=3ax²+2bx+c，函数f（x）点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，
∴

a+b+c=-2 3a+2b+c=0

，②
由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f"（x）=3x²-3，
令f"（x）=0，解得x=±1，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在区间[-3，2]上f_max（x）=2，f_min（x）=-18，
∴对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|≤20，
∴t≥20，从而t的最小值为20；
（Ⅲ）∵f"（x）=3ax²+2bx+c，
则

f′(0)=c f′(-1)=3a-2b+c f′(1)=3a+2b+c

，可得6a=f"（-1）+f"（1）-2f"（0）．
∵当-1≤x≤1时，|f"（x）|≤1，
∴|f"（-1）|≤1，|f"（0）|≤1，|f"（1）|≤1，
∴6|a|=|f"（-1）+f"（1）-2f"（0）|≤|f"（-1）|+|f"（1）|+2|f"（0）|≤4，
∴a≤

2

3

，故a的最大值为

2

3

，
当a=

2

3

时，

|f′(0)|=|c|=1 |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 |f′(1)|=|2+2b+c|=1

，解得b=0，c=-1，
∴a取得最大值时f(x)=

2

3

x3-x．