设函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．（I）求t的值及函数f（x）的解析式 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．
（I）求t的值及函数f（x）的解析式；
（II）设函数g（x）=f（x）+

mx
（1）若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围．
（2）假设g（x）有两个极值点x₁，x₂（且x₁≥0，x₂≥0），求x

关于m的表达式φ（m），并判断φ（m）是否有最大值，若有最大值求出它；若没有最大值，说明理由．

答案

（I）设切点P（t.0）代入直线方程y=5x-10，得P （2，0），
且有f（2）=0，即4b+c+3=0…①…（2分）
又f"（x）=3x²+4bx+c，由已f"（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0 …②
联立①②，解得b=-1，c=1．
所以函数的解析式f（x）=x³-2x²+x-2 …（4分）
（II）（1）因为g(x)=x3-2x2+x-2+

mx，
g′(x)=3x2-4x+1+

m=0，
当函数有极值时，则△≥0，方3x2-4x+1+

m=0有实数解，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1． …（8分）
①当m=1时，g"（x）=0有实数x=

，在x=

的左右两侧均g"（x）＞0，故函数g（x）无极值
②当m＜1时，g"（x）=0有两个实数根x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
g"（x），g（x）情况如下表：

核心考点

试题【设函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．（I）求t的值及函数f（x）的解析式】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

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（-∞，x₁）

x₁

（x₁，x₂）

x₂

（x₂，+∞）

g"（x）

g（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

已知函数f(x)=

x3-

(a+

)x2+x(a＞0)，则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大时的切线方程为______．

已知直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．e

已知P（x，y）是函数y=e^x+x图象上的点，则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为（　　）

A．

B．

C．

D．

已知对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax（a∈R）的切线，则a的取值范围是（　　）

A．a＞

B．a≥

C．a＜

D．a≤

曲线y=x（2lnx+1）在点（1，1）处的切线方程是______．