题目
题型:不详难度:来源:
lnx+a |
x |
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正的数列{an}满足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求证:an≤2n-1.
答案
1-(lnx+a) |
x2 |
令f′(x)=0得x=e1-a,
当x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,∴f(x)是增函数;
当x∈(e1-a,+∞),f′(x)<0,∴f(x)是减函数;
∴f(x)在x=e1-a处取得极大值,f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值.
(Ⅱ)①当e1-a<e2,即a>-1时,
由(Ⅰ)知,f(x)在(0,e1-a)上是增函数,在(e1-a,e2)上是减函数,
∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1…(7分)
∵若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,
∴ea-1≥1
∴a≥1
∵a>-1,∴a≥1
②当e1-a≥e2,即a≤-1时,f(x)在区间(0,e2]上是增函数,
∴f(x)在区间(0,e2]上的最大值为f(e2)=
2+a |
e2 |
∴原问题等价于
2+a |
e2 |
∴a≥e2-2
∵a≤-1,∴无解
综上,实数a的取值范围是[1,+∞).
(Ⅲ)证明:令a=1,由(Ⅰ)知,
lnx+1 |
x |
∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak+1=lnak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*)
从而an+1=lnan+an+2≤2an+1
∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即1+an≤2n,
∴an≤2n-1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)(Ⅰ)求f(x)的极值;(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1+lnx |
x |
A.x=1 | B.y=x-1 | C.y=1 | D.y=-1 |
a+blnx |
x+1 |
(I)求a,b的值;
(II)对函数f(x)定义域内的任一个实数x,f(x)<
m |
x |
1 |
3 |
2 |
3 |
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在(-1,1)上的极值;
(Ⅲ)若在区间[-
1 |
2 |
1 |
2 |
(1)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式;
(2)当a=1时,若-2≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤3,试求f(2)的取值范围;
(3)对∀x∈[-1,1],都有|f′(x)|≤1,试求实数a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式.
A.-log20142013 | B.-1 |
C.-1+log20142013 | D.1 |
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