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题目
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若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,那么整数a的值为______.
答案
由y=x3-2ax2+2ax,得
y′=3x2-4ax+2a,
∵曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,
∴对任意实数x,3x2-4ax+2a>0恒成立,
∴△=(-4a)2-4×3×2a<0.
解得:0<a<
3
2

∴整数a的值为1.
故答案为:1.
核心考点
试题【若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,那么整数a的值为______.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=lnx+a(x2-x)
(1)若a=-1,求证f(x)有且仅有一个零点;
(2)若对于x∈[1,2],函数f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于
π
4
,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值;
(Ⅲ)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.
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已知函数f(x)=
3x

+1,则
lim
△x→0
f(1-△x)-f(1)
△x
的值为(  )
A.-
1
3
B.
1
3
C.
2
3
D.0
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已知函数f(x)满足f(2x-1)=
1
2
f(x)+x2-x+2
,则函数f(x)在(1,f(1))处的切线是(  )
A.2x+3y+12=0B.2x-3y+10=0C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0
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已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若t∈[
1
2
,4]时,s(t)<3d2恒成立,求d的取值范围.
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