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题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当k>0时,求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
答案
(1)因为f"(x)=(1+kx)ekx,f"(0)=1,f(0)=1.
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.….(4分)
(2)由f"(x)=(1+kx)ekx=0得1+kx=0,即x=-
1
k
,k≠0
.….(5分)
①若k>0,则当x<-
1
k
时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减.
当x>-
1
k
时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增.….(7分)
②若k<0,则当x<-
1
k
时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增.
当x>-
1
k
时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减.…..(9分)
所以当k>0时,函数的减区间为(-∞,-
1
k
),增区间为(-
1
k
,+∞).
当k<0时,函数的增区间为(-∞,-
1
k
),减区间为(-
1
k
,+∞).
(3)由(II)知,若k>0,则当且仅当-
1
k
≤-1,即k≤1,f(x)在区间(-1,1)内单调递增;…(11分)
若k<0,则当且仅当-
1
k
≥1,即k≥-1.
综上可知,f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
核心考点
试题【设函数f(x)=xekx(k≠0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当k>0时,求函数f(x)的单调区间;(3)若函数f(x)在】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2
+2bx+c在R上可导.
(1)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=3a,求a的取值范围;
(2)若f(x)的极大值点在(0,1)内,极小值点在(1,2)内,求
b-2
a-1
的取值范围.
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已知函数f(x)=xn,其中n∈Z,n≥2.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(x0>0)处的切线为l,l与x轴交于点Q,与y轴交于点R,则
|PQ|
|PR|
=(  )
A.
1
n-1
B.
1
n
C.
2
n-1
D.
2
n
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已知曲线y=x2上一点P处的切线与直线2x-y+1=0平行,则点P的坐标为(  )
A.(-1,1)B.(1,1)C.(2,4)D.(3,9)
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=
a
x
(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)求F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以y=F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k
1
2
恒成立,求实数a的最小值.
(Ⅲ)是否存在实数m,使得函数y=g(
2a
x2+1
)+m-1的图象与y=f(1+x2)的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
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已知直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个交点,求常数a的取值范围.
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