题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数n,不等式ln<都成立.
答案
(1) a=1
(2) ln3 -1≤b<ln2 +
(3) 略
解析
故 =0,解得a=1.经检验a=1符合题意. ……………4分
(Ⅱ)由知,由,得
,令,
则f(x)= +b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]恰有两个不同实数根.
,
当x∈(O,1)时,,于是在(O,1)上单调递增;
当x∈(1,2)时,,于是在(1,2)上单调递减.
依题意有
∴ln3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分
(Ⅲ) 的定义域为{x|x> -1},
由(Ⅰ)知, 令=0得,x=0或x= (舍去),
∴当-1<x<0时,>0,f(x)单调递增; 当x>0时,<0,f(x)单调递减.
∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.
∴f(x)≤ f(0),故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时,等号成立).
对任意正整数n,取x=>0得,ln(+1)< +,
故ln()<.……………………………………12分
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.有极小值 | B.有极大值 | C.无极值 | D.既有极大值又有极小值 |
(1)a、b、c的值;
(2)函数f(x)的极小值
已知为实数,函数,函数,
令函数.
⑴若,求函数的极小值;
⑵当时,解不等式;
⑶当时,求函数的单调区间.
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