题目
题型:不详难度:来源:
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)先求导,根据题意 (2)可将问题转化为≥,分别求导令导数大于0、小于0得单调性,用单调性求最值。在解导数大于0或小于0的过程中注意对的讨论。
试题解析:(1)解法1:∵,其定义域为,
∴. ∵是函数的极值点,∴,即.
∵,∴. 经检验当时,是函数的极值点,∴.、
解法2:∵,其定义域为,
∴. 令,即,整理,得.
∵,
∴的两个实根(舍去),,
当变化时,,的变化情况如下表:
依题意,,即,∵,∴.
(2)对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥.当[1,]时,.
∴函数在上是增函数.∴.
∵,且,.
①当且[1,]时,,
∴函数在[1,]上是增函数,
∴.由≥,得≥,又,∴不合题意.
②当1≤≤时,
若1≤<,则,若<≤,则.
∴函数在上是减函数,在上是增函数.
∴.
由≥,得≥,又1≤≤,∴≤≤.
③当且[1,]时,,
∴函数在上是减函数.
∴.由≥,得≥,
又,∴.
综上所述,的取值范围为.
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D.不确定 |
A. | B. | C. | D. |
(2)若等比数列的前项和,则必有;
(3)若的最小值为2;
(4)函数在上必定有最大值、最小值;
(5)平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线.
其中正确命题的序号是 .
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