题目

题型：0103 期末题难度：来源：

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax²。
（Ⅰ）若，求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）时，，
，
当x∈（-∞，-1）时，；当x∈（-1，0）时，；
当x∈（0，+∞）时，；
故f(x)在（-∞，-1），（0，+∞）单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ），
令，则，
若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，，g(x)为减函数，而g(0)=0，
从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0；
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，，g(x)为减函数，而g(0)=0，
从而当x∈（0，lna）时，g(x)＜0，即f(x)＜0，
综上所述，得a的取值范围为（-∞，-1]。