题目
题型:天津高考真题难度:来源:
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
答案
解:(Ⅰ)解:当t=1时,
f′(0)=-6,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x。
(Ⅱ)解:,
令f′(x)=0,解得x=-t或,
因为t≠0,以下分两种情况讨论:
(1)若t<0,则,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以,f(x)的单调递增区间是;f(x)的单调递减区间是。
(2)若t>0,则,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以,f(x)的单调递增区间是;f(x)的单调递减区间是;
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当t>0时,f(x)在内的单调递减,在内单调递增,以下分两种情况讨论:
(1)当即t≥2时,f(x)在(0,1)内单调递减,
,
所以对任意t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点;
(2)当即0<t<2时,f(x)在内单调递减,在内单调递增,
若,
,
所以f(x)在内存在零点;
若,
f(0)=t-1>0,
所以f(x)在内存在零点;
所以,对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。
综上,对任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。
核心考点
试题【已知函数f(x)=4x3+3tx2-6tx+t-1,x∈R,其中t∈R,(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)当t≠0时,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明:存在x0∈(2,+∞),使;
(Ⅲ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明:.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值范围。
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值。
(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;
(2)设a<0且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值。
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