题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知a＞0，函数f(x)=lnx-ax²，x＞0，（f(x)的图像连续不断）
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在x₀∈(2，+∞)，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f(α)=f(β)，证明：．

答案

（Ⅰ）解：，
令f′(x)=0，解得，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递增区间是，f(x)的单调递减区间是。
（Ⅱ）证明：当时，，
由（Ⅰ）知f(x)在（0，2）内单调递增，在(2，+∞)内单调递减，
令，
由于f(x)在（0，2）内单调递增，
故，即g（2）＞0，
取，则，
所以存在，使，
即存在，使。
（Ⅲ）证明：由f(α)=f(β)及（Ⅰ）的结论知，
从而f(x)在[α，β]上的最小值为f（a），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知，
故，即，
从而。