题目
题型:河北省期末题难度:来源:
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)当x∈(0,e]时,证明:e2x2-x>(x+1)lnx。
答案
令h(x)=2x2+ax-1,
由得,得;
(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,
,
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得(舍去);
②当时,g(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴,解得a=e2,满足条件;
③当时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,解得(舍去);
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,g(x)有最小值3.
(3)令F(x)=e2x-lnx,由(2)知,F(x)min=3,
令,
当0<x≤e时,ψ′(x)≥0,ψ(x)在(0,e]上单调递增,
∴,
∴,即。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R,(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e+1,e2+1]上的最小值。
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有lnn>。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0对x∈R恒成立,求a的取值范围;
(3)对任意n个正整数a1,a2,…,an,记
①求证:(i=1,2,…,n);
②求证:。
(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(2)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点;
(3)若f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2)两点,AB的中点为C(x0,0),求证:f′(x0)<0。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥ g(x2),求实数m的取值范围。
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