题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数（a，b∈R）。
（1）若f"（0）=f"（2）=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若b=a+2，且f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）因为f"（x）=x²-2ax+b，
由f"（0）=f"（2）=1，即
得
所以f（x）的解析式为。
（2）若b=a+2，则f"（x）=x²-2ax+a+2，
Δ=4a²-4（a+2），
（i）当△≤0，即-1≤a≤2时，f"（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上单调递增，所
以，当-1≤a≤2时，f（x）在区间（0.1）上单调递增；
（ii）当Δ>0，即a>2或a＜-1时，
令f"（x）=x²-2ax+a+2=0，
解得
列表分析函数f（x）的单调性如下：

要使函数f（x）在区间（0，1）上单调递增
只需或
解得-2≤a＜-1或2＜a≤3。