题目

题型：0103 月考题难度：来源：

设a≥0，f （x）=x-1-ln²x+2a ln x（x>0）。
（1）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（2）求证：当x>1时，恒有x>ln²x-2aln x+1。

答案

解：（1）根据求导法则有
故
于是
列表如下：

故知F（x）在内是减函数，在内是增函数，
所以，在处取得极小值。
（2）由知，的极小值
于是由上表知，对一切，恒有
从而当时，恒有，
故在内单调增加
所以当时，，即
故当时，恒有。