题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x。
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
（2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）函数f（x）图像上是否存在两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x₀，y₀）处切线斜率？请写出判断过程。

答案

解：（1）∵，
∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且
∴g（x）的值域T为；
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，原问题等价于：对任意的在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，
∵
当时，，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意
当时，，f（x）在区间[1，e]上单调递减，不合题意，
当即时，f（x）在区间上单调递减；f（x）在区间上单递增，由上可得，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，
而由可得，则a∈，
综上，满足条件a的不存在；
（3）
而，故有，
即，令，则上式化为，
令，则由可得F（t）在（0，1）上单调递增，故，即方程无解，所以不存在。