题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x，  
（Ⅰ）若函数φ（x）= f（x）-，求函数φ（x）的单调区间；  
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x₀，f（x₀））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切。

答案

解：（Ⅰ），
，
∵且，
∴，
∴函数的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）。
（Ⅱ）∵，
∴，
∴切线l的方程为，
即， ①
设直线l与曲线y=g（x）相切于点，
∵，
∴，
∴，
∴直线l也为， 即，  ②
由①②得 ，
∴，
下证：在区间（1，+∞）上存在且唯一，
由（Ⅰ）可知，在区间（1，+∞）上递增，
又，，
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，
这个根就是所求的唯一；
故结论成立。