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题目
题型:湖北省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex,  
(Ⅰ)若函数φ(x)= f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;  
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切。
答案
解:(Ⅰ)



∴函数的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞)。
(Ⅱ)∵

∴切线l的方程为
, ①
设直线l与曲线y=g(x)相切于点



∴直线l也为, 即,  ②
由①②得

下证:在区间(1,+∞)上存在且唯一,
由(Ⅰ)可知,在区间(1,+∞)上递增,

结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,
这个根就是所求的唯一
故结论成立。  
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex,  (Ⅰ)若函数φ(x)= f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;  (Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f(x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
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已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ln-ax2+x(a>0),  
(1)若f(x)是定义域上的单调函数,求a的取值范围;  
(2)若f(x)在定义域上有两个极值点x1、x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln2。
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已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x(a∈R),f′(x)为f(x)的导数。
(Ⅰ)当a=-3时证明y=f(x)在区间(-1,1)上不是单调函数;
(Ⅱ)设,是否存在实数a,对于任意的x1∈[-1,1]存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立?若存在求出a的取值范围;若不存在说明理由。
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已知f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c,
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,2]上单调递减,求b的取值范围。
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