已知三次函数f（x）的最高次项系数为a，三个零点分别为﹣1，0，3．（1）若方程有两个相等的实根，求a的值；（2）若函数λ（x）=f（x）+2在区间内单调递减， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知三次函数f（x）的最高次项系数为a，三个零点分别为﹣1，0，3．
（1）若方程

有两个相等的实根，求a的值；
（2）若函数λ（x）=f（x）+2

在区间

内单调递减，求a的取值范围．

答案

解：（1）依题意，设f（x）=ax（x+1）（x﹣3）
∵

有两个相等实根，
即a

﹣（2a﹣2）x+4a=0有两个相等实根，
∴△=（2a﹣2）²﹣4a·4a=0，即

或a=﹣1．
（2）∵λ（x）=ax³﹣（2a﹣2）

﹣3ax在

内单调递减，
∴λ"（x）=3a

﹣2（2a﹣2）x﹣3a≤0在

恒成立，
∴a=0或

解得a=0或a≤﹣1

核心考点

试题【已知三次函数f（x）的最高次项系数为a，三个零点分别为﹣1，0，3．（1）若方程有两个相等的实根，求a的值；（2）若函数λ（x）=f（x）+2在区间内单调递减，】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1﹣2t，2+t）、R（﹣2t，2），其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）；
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明．

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已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x²﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令

．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若

x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对

x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）﹣H（x₂）|＜1．

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若函数f（x）的导函数为f′（x）=x²﹣4x+3，则函数f（x﹣1）的单调递减区间为（）

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已知：三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在
（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，f（x）＞x²﹣4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数

，求h（x）的单调区间

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已知函数f（x）=x²﹣（1+2a）x+alnx（a为常数）．
（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）当a＞0时，讨论函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性，并写出相应的单调区间．

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