题目

题型：高考真题难度：来源：

设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切。
（1）求a，b的值；
（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜。

答案

解：（1）由y=f（x）过（0，0），
∴f（0）=0，=
∴b=-1
∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切
∴y′|x=0=
∴a=0；
（2）由（1）知f（x）=ln（x+1）+
由均值不等式，当x＞0时，，
∴①
令k（x）=ln（x+1）-x，
则k（0）=0，k′（x）=，
∴k（x）＜0
∴ln（x+1）＜x，②
由①②得，当x＞0时，f（x）＜
记h（x）=（x+6）f（x）-9x，
则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9＜
＜
=
∴h（x）在（0，2）内单调递减，
又h（0）=0，
∴h（x）＜0
∴当0＜x＜2时，f（x）＜。