题目
题型:期末题难度:来源:
(1)若b=﹣4,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求b的取值范围;
(3)若b=﹣1,证明对任意n∈N+,不等式…都成立.
答案
∴当﹣1<x<1时,f"(x)<0;当x>1时,f"(x)>0.
故函数f(x)的减区间是(﹣1,1),增区间是(1,+∞).
(2)解:∵,
又函数f(x)在定义域是单调函数,
∴f"(x)≥0,或f"(x)≤0在(﹣1,+∞)上恒成立.
若f"(x)≥0,∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≥0在(﹣1,+∞)上恒成立,即恒成立,
由此得;
若f"(x)≤0,∵x+1>0,
∴2x2+2x+b≤0,即b≤﹣(2x2+2x)恒成立,因﹣(2x2+2x)在(﹣1,+∞)没有最小值,
∴不存在实数b使f"(x)0恒成立.
综上所知,实数b的取值范围是.
(3)证明:当b=﹣1时,函数f(x)=x2﹣ln(x+1),
令函数h(x)=f(x)﹣x3=x2﹣ln(x+1)﹣x3,则,
∴当x∈[0,+∞)时,h"(x)<0,
∴函数h(x)在[0,+∞)上单调递减,
又h(0)=0,
∴当x∈(0,+∞)时,h(x)<h(0)=0,即x2﹣ln(x+1)<x3恒成立.
故f(x)<x3.
∵k∈N*,∴,
取,
∴…,
故结论成立.
核心考点
试题【设函数f(x)=x2+bln(x+1). (1)若b=﹣4,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求b的取值范围; (3)若b=】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求a的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设φ(x)=e2x+aex,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值.
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