题目
题型:眉山二模难度:来源:
m |
n |
m |
n |
(Ⅰ)求
b |
a |
(Ⅱ)若函数f(x)在[
a |
2 |
(Ⅲ)当a=2时,设0<t<4且t≠2,曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线与曲线y=f(x)相交于点B(m,f(m))(A,B不重合),直线x=t与y=f(m)相交于点C,△ABC的面积为S,试用t表示△ABC的面积S(t),若P为S(t)上一动点,D(4,0),求直线PD的斜率的取值范围.
答案
m |
n |
m |
n |
∴f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,
∴F(x)=f(x)+af′(x)=x3+(3a+b)x2+(2b+c)x+ac 为奇函数
∴F(-x)=-F(x),∴3a+b=0,ac=0,而a>0,
∴
b |
a |
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=x3-3ax2,f′(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),
由f′(x)<0,得0<x<2a,故f(x)的单调递减区间为[0,2a],
若函数f(x)在[
a |
2 |
a |
2 |
|
1 |
2 |
而由(Ⅰ)知b=-3a,故-6<b<-
3 |
2 |
(Ⅲ)当a=2时,由(Ⅰ)知b=-6,∴f(x)=x3-6x2,f′(x)=3x2-12x.
曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f′(x)(x-t),其中f′(x)=3t2-12t.
联立y=f(x)与y-f(t)=f′(x)(x-t),得 f(x)-f(t)=f′(x)(x-t),
∴x3-6x2-t3+6t2 =(3t2-12t)(x-t),∴(x3-t3)-6(x2-t2)-(3t2-12t)(x-t)=0,
∴(x-t)(x2+tx+t2-6x-6t-3t2+12t)=0,∴(x-t)[x2+(t-6)x-t(2t-6)]=0,
∴(x-t)2(x+2t-6)=0
则x=t或x=-2t+6,而A,B不重合,则m=-2t+6,
S(t)=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
27 |
2 |
27 |
2 |
其中t∈(0,2)∪(2,4).
记kPD =g(t)=
S(t) |
t-4 |
27 |
2 |
27 |
2 |
∴g′(t)=-
27 |
2 |
27 |
2 |
列表如下: