题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若a=0,求b的取值范围;
(Ⅱ) 当a是给定的实常数,设x1x2x3是f(x)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1,x2,x3,x4的某种排列x1,x2,x3,x4(其中{i1,i2,i3}={1,2,3,4})依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由、
答案
令g(x)=x2+(b+3)x+2b,∵△=(b+3)2-8b=(b-1)2+8>0,∴设x1<x2是g(x)=0的两个根,
(1)当x1=0或x2=0时,则x=0不是极值点,不合题意;
(2)当x1≠0且x2≠0时,由于x=0是f(x)的极大值点,故x1<0<x2.∴g(0)<0,即2b<0,∴b<0.
(Ⅱ)f"(x)=ex(x-a)[x2+(3-a+b)x+2b-ab-a],
令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a,则△=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0,
于是,假设x1,x2是g(x)=0的两个实根,且x1<x2.
由(Ⅰ)可知,必有x1<a<x2,且x1、a、x2是f(x)的三个极值点,
则x1=
(a-b-3)-
| ||
2 |
(a-b-3)+
| ||
2 |
假设存在b及x4满足题意,
(1)当x1,a,x2等差时,即x2-a=a-x1时,
则x4=2x2-a或x4=2x1-a,
于是2a=x1+x2=a-b-3,即b=-a-3.
此时x4=2x2-a=a-b-3+
(a+b-1)2+8 |
6 |
或x4=2x1-a=a-b-3-
(a+b-1)2+8 |
6 |
(2)当x2-a≠a-x1时,则x2-a=2(a-x1)或(a-x1)=2(x2-a)
①若x2-a=2(a-x1),则x4=
a+x2 |
2 |
于是3a=2x1+x2=
3(a-b-3)-
| ||
2 |
即
(a+b-1)2+8 |
两边平方得(a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0,∵a+b+3<0,于是a+b-1=
-9-
| ||
2 |
此时b=-a-
7+
| ||
2 |
此时x4=
a+x2 |
2 |
2a+(a-b-3)-3(a+b+3) |
4 |
1+
| ||
2 |
②若(a-x1)=2(x2-a),则x4=
a+x1 |
2 |
于是3a=2x2+x1=
3(a-b-3)+
| ||
2 |
即
(a+b-1)2+8 |
两边平方得(a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0,∵a+b+3>0,于是a+b-1=
-9+
| ||
2 |
此时b=-a-
7-
| ||
2 |
此时x4=
a+x1 |
2 |
2a+(a-b-3)-3(a+b+3) |
4 |
1-
| ||
2 |
综上所述,存在b满足题意,
当b=-a-3时,x4=a±2
6 |
b=-a-
7+
| ||
2 |
1+
| ||
2 |
b=-a-
7-
| ||
2 |
1-
| ||
2 |
核心考点
试题【设函数f(x)=(x-a)2(x+b)ex,a、b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点;(Ⅰ)若a=0,求b的取值范围;(Ⅱ) 当a是给定的实常数,设x1x2x】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试问该函数能否在x=-1处取到极值?若有可能,求实数p的值;否则说明理由;
(2)若该函数在区间(-1,+∞)上为增函数,求实数p的取值范围.
1 |
3 |
7 |
12 |
(1)求a,b,c,的值;
(2)求函数f(x)的递减区间.
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