题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若c=-a2,且|x1-x2|=2,求b的最大值;
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)+x,若0<x1<x2<
1 |
3a |
答案
∵x1、x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,a>0,
∴x1+x2=-
2b |
3a |
a |
3 |
∵|x1-x2|=2,
∴(x1+x2) 2-4x1x2=4,即(-
2b |
3a |
a |
3 |
∵b2≥0,
∴0<a≤3;
设h(a)=-3a3+9a2,则h′(a)=-9a2+18a;
由h′(a)>0,得0<a<2;由h′(a)<0,得a>2.
∴h(a)=-3a3+9a2在区间(0,2)上是增函数,在区间(2,3)上是减函数,
∴当a=2时,h(a)有极大值12,
∴h(a)在(0,3]上的最大值是12,从而b的最大值是2
3 |
(Ⅱ)由g(x)=f′(x)+x,得f′(x)=g(x)-x,
∵x1、x2是方程f′(x)=0的两根,
∴f′(x)=g(x)-x=3a(x-x1)(x-x2),
当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,故(x-x1)(x-x2)>0,
又a>0,故g(x)-x=3a(x-x1)(x-x2)>0,即g(x)>x;…7分
又x1-g(x)=x1-[x+f′(x)]=x1-x-3a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+3a(x-x2)],
∵0<x<x1<x2<
1 |
3a |
∴x1-x>0,[1+3a(x-x2)]=1+3ax-3ax2>1-3ax2>0,
∴g(x)<x1;…10分
综上所述:x<g(x)<x1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a>0)在x=x1和x=x2处取得极值.(Ⅰ)若c=-a2,且|x1-x2|=2,求b的最大值;(Ⅱ)设g(x)=f′(】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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3 |
| ||
3 |
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
p |
x |
(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围.
2 |
3 |
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