已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为___ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为______．

答案

∵y=f（x+1）为偶函数
∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=1对称
∴f（2）=f（0）
又∵f（2）=1
∴f（0）=1
设g(x)=

f(x)

（x∈R），则g′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

f′(x)-f(x)

又∵f′（x）＜f（x）
∴f^′（x）-f（x）＜0
∴g^′（x）＜0
∴y=g（x）单调递减
∵f（x）＜e^x
∴

f(x)

＜1
即g（x）＜1
又∵g(0)=

f(0)

=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）

核心考点

试题【已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为___】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）=ax³-bx²+cx在区间[0，1]上是减函数，在区间（-∞，0]，[1，+∞）上是增函数，又f′（2）=12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[0，m]．（m＞0）上恒有f（x）≤5x成立，求m的取值范围．

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已知函数f（x）满足f(x)=x3+f ′(

)x2-x+C（其中f ′(

)为f（x）在点x=

处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C；
（3）在（2）的条件下，若f(-

)＞0，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

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已知函数f(x)=

lnx

，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值．

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对任意的实数a，b，记max{a，b}=

a(a≥b)

b(a＜b)

若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值-2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（　　）

A．y=F（x）为奇函数

B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（-1）

C．y=F（x）的最小值为-2且最大值为2

D．y=F（x）在（-3，0）上不是单调函数

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设函数f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax．
（1）若f（x）的两个极值点为x₁，x₂，且x₁x₂=1，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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