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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
lnx
x

(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设a>0,求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值.
答案
(1)定义域为(0,+∞),f′(x)=
1-lnx
x2
,令f′(x)=
1-lnx
x2
=0
,则x=e,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

魔方格

∴f(x)的单调增区间为(0,e);单调减区间为(e,+∞).
(2)由(1)知f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以,
当4a≤e时,即0<a≤
e
4
时,f(x)在[2a,4a]上单调递增,
∴f(x)min=f(2a)=
ln(2a)
2a

当2a≥e时,即a≥
e
2
f(x)在[2a,4a]上单调递减,∴f(x)min=f(4a)=
ln(4a)
4a

当2a<e<4a时,即
e
4
<a<
e
2
时,f(x)在[2a,e]上单调递增,f(x)在[e,4a]上单调递减,
∴f(x)min=min{f(2a),f(4a)}.下面比较f(2a),f(4a)的大小,
f(2a)-f(4a)=
lna
4a

∴若
e
4
<a≤1
,则f(a)-f(2a)≤0,此时f(x)min=f(2a)=
ln2a
2a

1<a<
e
2
,则f(a)-f(2a)>0,此时f(x)min=f(4a)=
ln4a
4a

综上得:当0<a≤1时,f(x)min=f(2a)=
ln2a
2a

当a>1时,f(x)min=f(4a)=
ln4a
4a
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnxx,(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设a>0,求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
对任意的实数a,b,记max{a,b}=





a(a≥b)
b(a<b)
若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2,y=g(x)是正比例函数,函数y=f(x)(x≥0)与函数y=g(x)的图象如图所示  则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是(  )
A.y=F(x)为奇函数
B.y=F(x)有极大值F(1)且有极小值F(-1)
C.y=F(x)的最小值为-2且最大值为2
D.y=F(x)在(-3,0)上不是单调函数
魔方格
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设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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已知f(x)=x3+2x2-ax+1在区间[1,2]上递增,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,7)B.(-∞,7]C.(7,20)D.[20,+∞)
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已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切.
(1)设b=φ(c),求φ(c);
(2)设D(x)=
g(x)
f(x)
(其中x>-b)在[-1,+∞)上是增函数,求c的最小值;
(3)是否存在常数c,使得函数H(x)=f(x)g(x)在(-∞,+∞)内有极值点?若存在,求出c的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=
a(x2+1)+x-1
x
-lnx(a∈R)

(1)当a<
1
2
时,讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=x2-2bx+4,当a=
1
3
,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)+g(x2)≤0,求实数b的取值范围.
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