已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间. |
(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+. 因为f′(1)=0,f(1)=-2,所以切线方程为 y=-2. (2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域为(0,+∞). 当a>0时,f′(x)=2ax-(a+2)+=(x>0), 令f′(x)=0,即f′(x)===0, 所以x=或x=. ①a>2时,令f′(x)>0,可得x>或0<x<;令f′(x)<0,可得<x<; ②a=2时,f′(x)≥0恒成立; ③0<a<2时,令f′(x)>0,可得x>或0<x<;令f′(x)<0,可得<x<; ④a≤0时,令f′(x)>0,可得0<x<;令f′(x)<0,可得x>; ∴a>2时,函数的单调增区间是(0,),(0,);单调减区间为(,);a=2时,f(x)在(0,+∞上单调递增;0<a<2时,函数的单调增区间是(,+∞),(0,);单调减区间是(,);a≤0时,函数的单调增区间是(0,);单调减区间是(,+∞). |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.】;主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2. (Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若a>0,求b的取值范围. |
讨论函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调性. |
已知函数f(x)=ax-2lnx,a∈R (Ⅰ)求函数f(x)的极值; (Ⅱ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2,则称l为弦P1P2的伴随切线.当a=2时,已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的伴随切线l的方程; (Ⅲ)设g(x)= (a>0),若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围. |
若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而y=在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”.已知f(x)=x2+(cotθ-1)x+b(θ、b是常数,b>0). (1)若f(x)是偶函数,求θ、b应满足的条件; (2)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上是“弱增函数”,求实数b的范围. (3)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上不是“弱增函数”,求实数b的范围. |
已知函数f(x)=x3-x. (1)若不等式f(x)<k-2005对于x∈[-2,3]恒成立,求最小的正整数k; (2)令函数g(x)=f(x)-ax2+x(a≥2),求曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. |