题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=2

x

-lnx-2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若不等式

x-m

lnx

＞

x

恒成立，求实数m的取值组成的集合．

答案

（I）由已知得x＞0．
因为f′（x）=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

所以当x∈（0，1）⇒f′（x）＜0，
x∈（1，+∞），⇒f′（x）＞0．
故区间（0，1）为f（x）的单调递减区间，
区间（1，+∞）为f（x）的单调递增区间．
（II）（i）当x∈（0，1）时，

x-m

lnx

＞

x

⇔m＞x-

x

lnx．
令g（x）=x-

x

lnx，
则g′（x）=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

=

f(x)

2 x

．
由（1）知当x∈（0，1）时，有f（x）＞f（1）=0，所以g′（x）＞0，
即得g（x）=x-

x

lnx在（0，1）上为增函数，
所以g（x）＜g（1）=1，所以m≥1．
（ii）当x∈（1，+∞）时，

x-m

lnx

＞

x

⇔m＜x-

x

lnx．
由①可知，当x∈（1，+∞）时，g（x）=x-

x

lnx为增函数，
所以g（x）＞g（1）=1，所以m≤1．
综上，得m=1．
故实数m的取值组成的集合为：{1}．