题目

题型：湖南难度：来源：

已知函数f（x）=x²e^ax，其中a≤0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

答案

（Ⅰ）f"（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）当a=0时，令f"（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f"（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f"（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＜0时，令f′(x)=0，得x(ax+2)=0，故x=0或x=-

2

a

.
若x＜0，则f"（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若0＜x＜-

2

a

，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，-

2

a

)上单调递增；
若x＞-

2

a

，则f′(x)＜0，从而f(x)在(-

2

a

，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=1．
（ii）当-2＜a＜0时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（1）=e^a．
（iii）当a≤-2时，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f(-

2

a

)=

4

a2e2

.