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题目
题型:湖南难度:来源:
已知函数f(x)=x2eax,其中a≤0,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
答案
(Ⅰ)f"(x)=x(ax+2)eax
(i)当a=0时,令f"(x)=0,得x=0.
若x>0,则f"(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若x<0,则f"(x)<0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递减.
(ii)当a<0时,令f′(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=-
2
a
.

若x<0,则f"(x)<0,从而f(x)在(-∞,0)上单调递减;
0<x<-
2
a
,则f′(x)>0,从而f(x)在(0,-
2
a
)
上单调递增;
x>-
2
a
则f′(x)<0,从而f(x)在(-
2
a
,+∞)
上单调递减.
(Ⅱ)(i)当a=0时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(ii)当-2<a<0时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=ea
(iii)当a≤-2时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(-
2
a
)=
4
a2e2
.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2eax,其中a≤0,e为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0.
(I)求m与n的关系表达式;
(II)求f(x)的单调区间.
题型:山东难度:| 查看答案
函数f( x )=2x-
a
x
的定义域为(0,1](a为实数).
(1)当a=-1时,求函数y=f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围.
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f"(x)是减函数,且f′(x)>0.设x0∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))得的切线方程,并设函数g(x)=kx+m.
(Ⅰ)用x0、f(x0)、f′(x0)表示m;
(Ⅱ)证明:当x0∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x).
题型:辽宁难度:| 查看答案
已知f(x)=
x
x+1
(x≠-1)
,它的单调区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知f(x)=ax3+x2+cx是定义在R上的函数,f(x)在[-1,0]和[4,5]上是减函数,在[0,2]上是增函数.
(I)求c的值;
(II)求a的取值范围;
(III)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
题型:崇文区一模难度:| 查看答案
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