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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax-
1
x
+b-(a+1)lnx,(a,b∈R),g(x)=-
2
e
x+
e
2

(Ⅰ)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:对任意x1x2∈[e,e2],总有f(x1)>g(x2);
(Ⅲ)求函数f(x)的单调递增区间.
答案
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+
1
x2
-
a+1
x

由题意得





f′(2)=a+
1
4
-
a+1
2
=0
f(2)=2a-
1
2
+b-(a+1)ln2=0

a=
1
2
,b=
3
2
ln2-
1
2

经检验符合题意.
(Ⅱ)f′(x)=
1
2
+
1
x2
-
3
2x
=
x2-3x+2
2x2
=
(x-2)(x-1)
2x2
,当x∈[e,e2]时,f"(x)>0,
所以f(x)在[e,e2]上单调递增,所以f(x)min=f(e)=
e
2
-
1
e
+
3
2
ln2-2

g′(x)=-
2
e
,当x∈[e,e2]时,g"(x)<0,g(x)在[e,e2]上单调递减,所以     g(x)max=g(e)=
e
2
-2

因为f(x)min-g(x)max=
3
2
ln2-
1
e
>0

所以对任意x1x2∈[e,e2],总有f(x1)>g(x2).
(Ⅲ)f′(x)=
ax2-(a+1)x+1
x2
=
(ax-1)(x-1)
x2

(1)当a=0时,由f"(x)>0得,0<x<1;
(2)当a<0时,由f"(x)>0得,0<x<1;
(3)当a>0时,
(ⅰ)若0<a<1,由f"(x)>0得,0<x<1或x>
1
a

(ⅱ)若a=1,则f"(x)≥0恒成立,(在(0,1)和(1,+∞)上f"(x)>0,f′(1)=0),得x>0;
(ⅲ)若a>1,由f"(x)>0得,0<x<
1
a
或x>1.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1);
当0<a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(
1
a
,+∞)

当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,
1
a
)
和(1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax-1x+b-(a+1)lnx,(a,b∈R),g(x)=-2ex+e2.(Ⅰ)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值;(Ⅱ)在】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
若函数f(x)在定义域R内可导,f(1+x)=f(1-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)>0设a=f(0),b=f(
3
2
),c=f(3)
,则(  )
A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c
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函数y=
1
3
x3+ax
在区间[0,1]上是增函数,则a的取值范围为(  )
A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0
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设x1,x2(x1≠x2)使函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点
(1)若|x1|+|x2|=2


2
,求b的最大值;  
(2)若x1<x<x2,且x2=a,函数g(x)=f(x)"-a(x-x1),求证:|g(x)|≤
3
4
a3+a2+
a
3
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若函数y=lnx-ax的单调递减区间为(1,+∞),则a的值是(  )
A.0<a<1B.-1<a<0C.a=-1D.a=1
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已知f′(x)g(x)-f(x)g′(x)=x2(1-x),则函数
f(x)
g(x)
(  )
A.有极大值点1,极小值点0
B.有极大值点0,极小值点1
C.有极大值点1,无极小值点
D.有极小值点0,无极大值点
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