题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若k∈Z,且k<
f(x) |
x-1 |
答案
函数的导数为f"(x)=1+a+lnx,由f"(x)=1+a+lnx=0,
解得x=e-1-a,即当x=e-1-a,时,函数取得极小值-e-2.
即f(e-1-a)=e-1-a(a-1-a)=-e-1-a=-e-2,
所以解的a=1,即实数a的值为1.
(Ⅱ)当a=1时,f(x)=x(1+lnx),所以设g(x)=
f(x) |
x-1 |
x+xlnx |
x-1 |
则g′(x)=
x-2-lnx |
(x-1)2 |
令h(x)=x-2-lnx,x>1.
因为h′(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
又h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4=2-2ln2>0,
所以h(x)在(1,+∞)上存在唯一的一个实数根x0,满足x0∈(3,4),且h(x0)=0
,即x0-2-lnx0=0,所以lnx0=x0-2.
当x∈(1,x0)时,h(x)<0,此时g"(x)<0,
当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,此时g"(x)>0.
所以g′(x)=
x-2-lnx |
(x-1)2 |
所以.g(x)min=g(x0)=
x0+x0lnx0 |
x0-1 |
x0+x0(x0-2) |
x0-1 |
x0(x0-1) |
x0-1 |
所以要使k<
f(x) |
x-1 |
因为k∈Z,所以要k≤3,即k的最大值为3.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x(a+lnx)有极小值-e-2.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若k∈Z,且k<f(x)x-1对任意x>1恒成立,求k的最大值.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点,求实数a的取值范围;
(2)若当x∈[-1,1]时,f(x)>0,求实数a的取值范围.
1 |
2 |
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间.
(2)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a>0,使得方程
g(x) |
x |
1 |
e |
(1)x=
3 |
2 |
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=2时,函数g(x)=-x2-b,(b>0),若对任意m1,m2∈[
1 |
e |
. |
| . |
1 |
x |
(1)当m=
2 |
5 |
(2)若函数f(x)无极值点,求m的取值范围.
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