题目
题型:广东模拟难度:来源:
lnx |
x |
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(Ⅲ)是否存在a∈R,使f(x)的最小值是3,若存在求出a的值,若不存在,说明理由.
答案
1 |
x |
x-1 |
x |
∴0<x<1时,f"(x)<0,此时f(x)单调递减,
1<x<e时,f"(x)>0,此时f(x)单调递增(3分)
∴f(x)的极小值为f(1)=1(4分)
(Ⅱ)∵f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,
∴f(x)>0,f(x)min=1(5分)
令h(x)=g(x)+
1 |
2 |
lnx |
x |
1 |
2 |
1-lnx |
x2 |
当0<x<e时,h"(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增(8分)
∴h(x)max=h(e)=
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e |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(Ⅲ)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,
f"(x)=a-
1 |
x |
ax-1 |
x |
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3⇒a=
4 |
e |
②当0<
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a |
1 |
a |
1 |
a |
f(x)min=f(
1 |
a |
③当
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a |
4 |
e |
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.(14分)
核心考点
试题【已知 f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,其中x∈(0,e](e是自然常数),a∈R(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调性、极值;(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
(1)求实数a的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设g(x)=|ex-a|+
1 |
2 |
p |
x |
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(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.