题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a＞0），记g（x）为f（x）的导函数，若f（x）在R上存在反函数，且b＞0，则

g(2)

g′(0)

的最小值为（　　）

A．4

B． 5 2

C．2

D． 3 2

答案

由函数f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a＞0），
得g（x）=f′（x）=ax²+bx+c（a＞0），
∵f（x）在R上存在反函数，∴g（x）≥0对于x∈（-∞，+∞）恒成立，
又函数g（x）的对称轴方程为x=-

b

2a

，且对应的图象开口向上，
∴g(-

b

2a

)=

4ac-b2

4a

≥0，即b²≤4ac．
∵a＞0，b＞0，∴c≥

b2

4a

．
由g（x）=ax²+bx+c，g′（x）=2ax+b．
∴

g(2)

g′(0)

=

4a+2b+c

b

=2+

4a+c

b

=2+

4a

b

+

c

b

≥2+

4a

b

+

b

4a

≥2+2

4a b • b 4a

=4．
∴

g(2)

g′(0)

的最小值为4．
故选：A．