题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）]已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）试判断是否存在实数，使的图像与直线无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）.

答案

（1）时，的减区间为的增区间为
时，的增区间为
（2）故存在实数，使的图像与直线无公共点.

解析

解：（1）函数的定义域是…………………………1分
，………………………………………………………………3分
①若，则在上恒成立，
时，的增区间为…………………………………………………………………5分
②若，则，故当时，；
当时时，，………………………………………………7分
时，的减区间为的增区间为……………………………8分
（2）时，由（1）可知，
在上的最小值为…………………………………………10分
设
则
在上单调递减，
，…………………………………………………………………………12分

存在实数使的最小值大于
故存在实数，使的图像与直线无公共点.………………………14分